Задачи с оценкой риска по известным значениям вероятности

БС 1. В небольшом городе, где живет Алексей интернет-магазины не отличаются высокой обязательностью. Так, вероятность того, что нужный товар доставят из магазина «Электроник», составляет 0,7, а из магазина «Интернет +» - 0,85. Молодой человек заказал необходимый товар сразу в двух магазинах. Определите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Считать, что интернет -магазины работают независимо друг от друга.

Чтобы развернуть или скрыть решение, кликните по слову
• Решение.
  Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,7 = 0,3. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,85 = 0,15. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,3 · 0,15 = 0,045.
  Ответ: 0,045. Вероятность мала, поэтому его подход оптимален с точки зрения вероятности.

БС 2. В супермаркете стоят 3 банкомата разных банков. Вероятность того, что один из них неисправен составляет: 0,15 для первого банкомата, 0,12 для второго и 0,17 для третьего независимо друг от друга. Найдите вероятность того, чтобы хотя бы один банкомат в супермаркете был исправен.

Решение.

Вероятность того что все банкоматы неисправны составляет:

0,15×0,12×0,17= 0,00306

При всех других ситуациях будут исправны от 1 до 3 банкоматов. Т.е.

1-0,00306=0,99694

Ответ: 0,99694. Именно благодаря расчетам вероятности чаще всего в банках определенное количество банкоматов.

БС 3. Автоматическая линия изготавливает одну из деталей для автомашины. Вероятность того, что готовая деталь неисправна, равна 0,03. После изготовления каждая деталь проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную деталь, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную деталь, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная деталь будет забракована системой контроля.

• Решение.
  Ситуация, при которой деталь будет забракована, может сложиться в результате событий: A -деталь действительно неисправна и забракована справедливо или В -деталь исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:
  Р(А+В) = Р(А)+Р(В) = 0,98×0,03+ 0,97×0,01=0.0294+0,0097= 0,0391
  Ответ: 0,0391. Вероятность дает возможность сделать вывод, что только около 4% система бракует. [4]

Рассмотрим ситуацию, когда можно вычислить вероятность, используя многократные исследования и использовать её при выборе.

БС 4. Бизнесмен обдумывает, стоит ли вкладывать деньги в покупку пруда, в котором, по словам продавца, водится очень много рыбы. Как же проверить, прав ли продавец?

• Решение.
  Естественно, установить точное количество рыбы в пруду – задача невыполнимая. Но попробуем хотя бы приближенно определить ее количество, используя вероятность события.
  Пусть в пруду х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, в ней через определенное время окажется n рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно в пруд. Через несколько дней в том же самом месте в то же время забрасываем ту же самую сеть. Допустим, что в ней находится m рыб, среди которых k меченых.
  Пусть событие А – пойманная рыба меченая. Тогда, если в пруду х рыб и мы выпустили в него n меченых, то по формуле (1) р(А) = n/x. С другой стороны, через несколько дней эта же самая вероятность будет равна: р(А) = k/m. Отсюда n/x = k/m, x=mn/k.
  Таким образом,  в пруду находится mn/k рыб. После этого бизнесмен должен принять решение о том, стоит ли выкладывать свой капитал в покупку пруда.

БС 5. Для сигнализации о пожаре установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при пожаре каждый из сигнализаторов сработает, равна 0,95. Каков риск того, что при пожаре не сработает ни один из сигнализаторов?

Чтобы развернуть или скрыть решение, кликните по слову
• Решение.
  Введем два события А и В – при пожаре сработает первый и второй сигнализаторы. Тогда по формуле (3) вероятность того, что не сработает ни один из сигнализаторов, равна: р(АВ) = р(А)р(В) =0,0025.
  Ответ: 0,0025 Таким образом, риск того, что при пожаре не сработает ни один сигнализатор, мал – он равен 0,25%.  [1]

БС 6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Надежность (вероятность того, что при аварии он сработает) первого сигнализатора равна 0,95, а второго – 0,9. Какова вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) не сработает  ни один из сигнализаторов. Ответ: а) 0,14; б) 0,05.

БС 7. В крупном фермерском хозяйстве имеются 3 комбайна , коэффициент использования рабочего времени ( относительное время ) которых соответственно равен 0,8; 0,7 и 0,6. Найдите относительное время : а ) совместной работы всех комбайнов; б ) простоя всех комбайнов. Ответ: а) 0,336; б) 0,664.

БС 8. Рабочий производственного цеха фирмы обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9 , для второго и третьего – 0,95. Найти вероятность того, что в течение часа: а) ни один из станков не потребует внимания рабочего; б) один станок потребует внимания рабочего. Ответ: а) 0,785; б) 0,185.

БС 9. На автобазе имеются 4 автомобиля. Вероятность выхода на линию каждого равна 0,9. Найдите вероятность нормальной работы автобазы, если для этого требуется иметь на линии не менее двух автомобилей. Ответ: 0,936(формула Бернулли)

БС 10. Прибор, обладающий вероятностью безотказной работы за время t, равно р,  представляется недостаточно надежным. Для повышения надежности он дублируется еще одним точно таким же прибором. Если первый прибор за время t отказал, то происходит автоматическое переключение на дублирующий. Найти вероятность того, что система из двух приборов проработает безотказно время t. Ответ: 1-(1-р)²

БС 11. По линии связи, имеющей 4 приемно-передающих пункта, передается сообщение. На первом пункте происходит искажение сообщения с вероятностью 0,1, а на каждом последующем вероятность искажения возрастает на 0,05. Какова вероятность получения «на выходе» неискаженного сигнала? Ответ: 0,459

БС 12. Для обслуживания некоторого производства необходима непрерывная работа 5-ти единиц оборудования. Условия работы таковы, что приходится останавливать машин для наладки, ремонта и т.п. Вероятность того, что в данный момент машина не работает, равна 0,2. Сколько машин нужно иметь в резерве, если допустима вероятность в 0,03, что резерв не обеспечит работу 5 машин? Ответ: 4. [1]

БС 13. Вероятность того, что за день на производстве ООО «Альфа» изготовят больше 7 изделий составляет 0,97, а вероятность того, что изготовят больше 8 изделий составляет 0,63. Определите вероятность того, что за день будет выпущено 8 изделий.

Решение.

Вероятность события С есть сумма вероятностей событий А и В, т.е.:

Р(С)=Р(А)+Р(В)

0,97=Р(А)+0,63

Т.е. искомая вероятность Р(А)= 0,97-0,63=0,34.

Ответ: 0,34. Вероятность невелика.

БС 14. Владелец производственной компании участвует в 5 тендерах по госзакупкам продукции, аналогичной выпускаемой его предприятием. Вероятность того, что он будет отобран в результате конкурса в одном тендере составляет 0,45. Определите вероятность того, что он победил в первом и втором тендере и проиграл в третьем, четвертом и пятом.

Решение.

Вероятность того, что он выиграет первый и второй тендеры составляет:

0,45×0,45=0,2025

Поскольку вероятность победы в тендере составляет 0,45, противоположное событие, проигрыш в тендере составит:

1-0,45=0,55

тогда вероятность проигрыша в третьем, четвертом и пятом тендерах составит:

0,55×0,55×0,55=0,166375

А вероятность того, что он выиграет два первых тендера и проиграет остальные составит:

0,2025×0,166375=0,0336909375

Ответ: 0,0337. Вероятность мала.

БС 15. Предприниматель приобрел мини пекарню и хочет распространять свою продукцию в одном из ближайших магазинов шаговой доступности. Для этого он стал объезжать все близлежащие магазины, причем он будет это делать до тех пор, пока не найдет магазин, который возьмет его продукцию на реализацию (считаем, что любой из магазинов, куда обращается предприниматель способен реализовать всю его продукцию). Вероятность того, что первый магазин куда он обратится, возьмет его продукцию на реализацию составляет 0,3, а для каждого последующего магазина вероятность этого события составляет 0,4. Определите сколько магазинов ему придется объехать, чтобы вероятность нахождения магазина для реализации продукции была выше 0,96.

Решение.

Переформулируем задачу:

Вероятность не нахождения нужного магазина должна быть ниже 0,04.

Тогда:

Для первого магазина вероятность непринятия товара на реализацию составит 0,7.

Для двух: 0,7×0,6=0.42

Для трех: 0,7×0,6×0,6=0,252

Для четырех: 0,7×0,6×0,6×0,6=0,1512

Для пяти: 0,7×0,6×0,6×0,6×0,6=0,09072

Для шести: 0,7×0,6×0,6×0,6×0,6×0,6=0,054432

Для семи: 0,7×0,6×0,6×0,6×0,6×0,6×0,6=0,0326592 <0,04

Т.е. ему надо объехать 7 магазинов, чтобы вероятность достижения цели была больше 0,96.

Ответ: 7. [4]

БС 16. Магазин получает товар от трех поставщиков: 55 % товара поступает от первого поставщика, 20 % от второго и 25 % от третьего. Продукция , поступающая от первого поставщика , содержит 5 % брака , поступающая от второго поставщика 6 % брака , а поступающая от третьего поставщика - 8 % брака . Покупатель оставил в книгe пожеланий покупателя жалобу о низком качестве приобретенного товара . Найти вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя , поступил от второго поставщика. [, № 112]

БС 17. Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 руб., при солнечной погоде равно 80%, при переменной облачности - 50 % , а при дождливой погоде - 10 % . Найти вероятность того , что на следующей неделе 2000 руб, если вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 20 % , вероятность переменной облачности и вероятность дождливой погоды - по 40 %. [, № 106]

БС 18. Каждую пятницу бронированный автомобиль доставляет заработную плату из отделения банка в 5 фирм. В качестве меры предосторожности стараются использовать различные маршруты. Водитель выбирает один из предложенных диспетчером вариантов. Какова вероятность того, что маршрут не повторится в течении месяца?

Решение

Пусть А – случайное  событие, состоящее в том, что маршрут повториться в течение недели. Для принятия решений в условиях риска следует четко выделить элементы условия, а также использовать некоторые сведения из теории комбинаторики.  Тогда по формуле (1) р(А) = 1/5! = 1/120. Будем считать, что в месяце 4 недели. Тогда вероятность того, что маршрут повторится хотя бы в одну из недель рассчитывается по формуле (2) и равна 4р(А) = 0,033. А вероятность того, что маршрут не повторится в течение месяца, равна 0,967.

Ответ: 0967.

БС 19. Для принятия решений о покупке ценных бумаг была разработана система анализа рынка . Из данных за прошлые периоды известно, что 5% всех ценных бумаг являются « плохими » - не подходящими для инвестирования. Предложенная система определяет 98 % "плохих" ценных бумаг как потенциально "плохие", но при этом 15 % ценных бумаг, пригодных для инвестиций, также определяет как потенциально « плохие » . Найти вероятность того , что ценная бумага подходит для инвестирования , при условии , что данной системой анализа рынка она была определена как потенциально « плохая » . На основе полученного результата прокомментировать пригодность системы для принятия инвестиционных решений. [109]

Ответ: 0,714. Система упускает значительное число привлекательных инвестиций.
БС 20. Чтобы поддержать позиции фирмы при заключении правительственного контракта , необходимы значительные инвестиции в определение стоимости первоначальных исследований и разработок.  Если фирма А сделает эти инвестиции , а её основной конкурент этого не сделает , то вероятность заключения договора с фирмой А составит 0,8 . Однако если конкурент также проведет предварительные исследования и разработки , то вероятность заключения договора с фирмой А уменьшается до 0,4 . Аналитическая служба фирмы А оценивает вероятность проведения конкурентом изысканий по предстоящему проекту в 0,3 . Вычислить вероятности следующих событий : а ) правительство устроит цена, предложенная фирмой (т.е. контракт будет заключен), при отсутствии информации о решении конкурента; б) правительство не устроит цена, предложенная фирмой А(т.е. контракт не будет заключен), при условии, что конкурент предложит свою цену; в) конкурент представит свою цену, при условии, что цена, предложенная фирмой А, принимается правительством; г) конкурент представит свою цену при условии, что цена, предложенная фирмой А, не принимается правительством. [110]

БС 21. Задача о разорении. Инвестиционная компания «играет» с рынком в следующую игру. Компания пытается угадать, какие финансовые инструменты окажутся в будущем доходными, если угадает – получает условно прибыль в 1 руб., иначе – несёт расходы 1 руб. Начальный капитал составляет х = 100 руб. Игра продолжается до тех пор, пока компания не наберет заранее определенную сумму s, либо пока он не разорится, проиграв весь,  имеющийся капитал х. Найти вероятность того, что компания разорится, так и не набрав желаемую сумму, если эта сумма s составляет : а)110 руб.; б)1000 руб.

Ответ: р(х)=1- [115]

БС 22 Известно, что из числа зрителей определенной телепрограммы 70% смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из 3 выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламного блока. Рассчитать вероятность числа лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки. Ответ: 0,027; 0,189; 0,441; 0,343. Наиболее вероятно, что смотрят рекламу 2 человека из 3. (формула Бернулли) 

БС 23. Для нормальной работы вычислительного центра необходима безотказная работа в течение дня, как минимум, 5 компьютеров. Сколько компьютеров нужно устано­вить, чтобы с вероятностью, не меньшей γ=0,95 обеспечить нормальную работу центра, если вероятность отказа компьютера в течение дня равна 0,05?[6]

Решение: вероятность отказы q=0,05, вероятность безотказной работы любого компьютера в течение дня составляет p=1-q=1-0,05=0,95 .

Применяем формулу Бернулли  , находим n.

Если в вычислительном центре установить  компьютеров, то по формуле Бернулли вероятность безотказной работы:

Но по условию нормальную работу центра  нужно обеспечить с вероятностью, не меньшей, чем γ=0,95.

  < 0,95  Значит, нужно увеличить количество машин:

Возьмем  компьютеров. Тогда для нормальной работы в течение дня безотказно должны работать 5 или 6 компьютеров.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

 – вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из шести. Требуемый уровень надёжности достигнут.

Смысла в большем количестве компьютеров нет, зачем тратить лишние деньги.

Ответ: чтобы обеспечить нормальную работу вычислительного центра в течение дня с вероятностью, не меньшей γ=0,95 , нужно установить не менее 6 компьютеров.

БС  24. На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно из первой партии.

Решение:

Используем формулу полной вероятности. Рассмотрим две гипотезы:
 – наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
 – наудачу взятое изделие будет из 2-й партии.

Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе. По классическому определению:
.

Рассмотрим зависимое событие:  – наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

В первой партии 100% – 20% = 80% стандартных изделий, поэтому:  – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 1-й партии.

Аналогично, во второй партии 100% – 10% = 90% стандартных изделий и  – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 2-й партии.

По формуле полной вероятности:
 – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным.

Пусть наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным.

По формулам Байеса:

 – вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 1-й партии.

Ответ: 0,37

Понять смысл переоценки гипотез можно так: сегодня 1-й цех отгрузил на склад 4000, а 2-й цех – 6000 изделий. Предположим, вся продукция однотипна и находится в одном контейнере. Естественно, что изделие, которое извлечем  для проверки, с вероятностью  будет выпущено 1-м цехом и с вероятностью  – вторым. Но после того как выбранное изделие оказывается стандартным, мы считаем, что его скорее выпустил 2-й цех. Таким образом, вероятность второй гипотезы переоценивается в лучшую сторону , а вероятность первой гипотезы занижается: . И эта переоценка имеет основу – ведь 2-й цех произвёл не только больше изделий, но и работает почти в 2 раза лучше.